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MAE111Cálculo Infinitesimal I

6 créditos, 6 capítulos

Ementa

Funções de uma variável real. Limites e derivadas. Cálculo de derivadas e aplicações. Teorema do valor médio. Integral definida.

2º período: 6 disciplinas, 20 créditos

Os seis livros do 2º período

UFRJ catalogada, 176 cursos. As outras universidades ainda não.

  1. 01Sua grade
  2. 02Seu livro
  3. 03Uma ideia viva

O acervo hoje

A grade inteira da UFRJ, currículo por currículo.

  1. 176cursos de graduação, com a grade completa
  2. 1.349períodos, do primeiro ao último
  3. 6.458volumes catalogados nas grades
  4. 3.995manuscritos distintos: o mesmo livro serve vários cursos.

Transcrito do repositório de currículos da UFRJ, capturado em 10 de agosto de 2026. Código, nome e créditos são os oficiais; o recorte em capítulos é nosso.

A grade: UFRJ, Ciência da Computação, segundo período. A ementa de uma disciplina vira um livro na estante do período, e a figura do livro acorda como uma maquete de curvas de nível, em três passos: a sua grade, o seu livro, uma ideia viva. Ao rolar, a maquete vira o acervo: 176 cursos, 1.349 períodos, 6.458 volumes, 3.995 manuscritos distintos.

chegou às 02:47 · 3 % de bateria

a página certa, entre 400

ainda em 4:3 · aos 47:12

Três da manhã. A prova é às sete.

·faltam 3 h 2 min

  1. O caderno está no celular de alguém. Uma foto de página de caderno, tirada às 02:47, com 3 % de bateria.
  2. O PDF é o livro inteiro. Quatrocentas páginas num leitor de PDF, abertas na 213.
  3. O slide é de 2019. Um slide 4:3 com barras pretas, parado aos 47 minutos da aula gravada.

O material existe. Ele só nunca esteve em um lugar só. Até virar um livro, escrito para a ementa de Cálculo I.

O acervo, por centro

Um livro para cada disciplina

Livros interativos para as disciplinas do seu curso na UFRJ: cada um escrito para a ementa dela, não um manual genérico.

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  • CCMN Ciência da Computação 9 períodos · 35 volumes
  • CT Engenharia de Petróleo 10 períodos · 59 volumes
  • CLA Licenciatura em Expressão Gráfica 8 períodos · 42 volumes
  • CCS Licenciatura em Dança 8 períodos · 58 volumes
  • CFCH Licenciatura em História 8 períodos · 30 volumes
  • CCJE Direito 10 períodos · 61 volumes

A UFRJ, inteira. As outras, ainda não.

Cada curso da UFRJ está catalogado currículo por currículo, disciplina por disciplina, com o código oficial de cada uma. Das outras universidades, nenhum currículo entrou ainda, e não há data prometida.

    As universidades o acervo, por instituição uma catalogada inteira · cinco ainda não

    Cada livro se abre assim.

    Um volume do acervo: MAE111Cálculo Infinitesimal I2º período

    Ler um capítulo

    Capítulo 3, A derivada é um lugar · 14 min · aberto para quem chega, sem conta

    Nada de PDF.
    Um livro, vivo.

    Cada disciplina da grade vira um livro feito para ser lido: a matemática bem composta, o grifo, a nota na margem e a figura que responde ao dedo.

    Cálculo ICapítulo 3A derivada é um lugar

    Capítulo 3 · 14 min de leitura

    A derivada é um lugar

    A reta tangente não é a reta que toca a curva uma vez. É a reta que a curva quer ser, se você chegar perto o bastante.

    O capítulo anterior terminou com uma pergunta que parecia simples: qual é a inclinação de uma curva? Para uma reta, a resposta é um número só, o mesmo em todo lugar. Para uma parábola, a pergunta não faz sentido do jeito que está: a curva se inclina de um jeito em cada ponto. Antes de responder, precisamos consertar a pergunta.

    Uma curva não tem inclinação; ela tem uma inclinação em cada ponto. Essa é a mudança de olhar que este capítulo inteiro tenta produzir: a derivada não é uma propriedade da curva, é um valor em um lugar. Tudo o que vem depois, regras, tabelas, atalhos, é consequência dessa frase.

    Comece com dois pontos. Fixe um deles, em , e deixe o outro a uma distância . A reta que passa pelos dois é a secante, e a inclinação dela se calcula como sempre: a variação de altura dividida pela variação horizontal.

    O quociente de Newton: a inclinação de uma reta que você já sabia calcular.

    O que é novo é o que acontece quando encolhe. O segundo ponto desliza pela curva em direção ao primeiro, a secante gira, e as inclinações que ela vai assumindo se aproximam de um número. Esse número, quando existe, é a derivada de em . A reta que tem essa inclinação e passa por é a tangente. Ela não “toca uma vez”: ela é o limite das secantes.

    A derivada em um ponto: um limite, e portanto um número.

    Vale insistir na palavra número. A derivada em um ponto é um número, com sinal: positivo onde a curva sobe, negativo onde desce, zero onde ela pára para mudar de ideia. Quem lê deve ler “andar um para a direita, a partir de dois, custa três de altura”, e não uma fórmula.

    A derivada mede o quanto a curva está disposta a subir, exatamente ali, e em nenhum outro lugar.

    E se fizermos isso em todos os pontos? Para cada , um número . Isso é uma função: a derivada de . Tome a curva

    e arraste o ponto. A tangente gira, e a curva de baixo se desenha sozinha, valor a valor: é a inclinação, medida em cada lugar.

    Figura 3.1 · a derivada como inclinação

    Em resumo Inclinação de curva é uma pergunta por ponto. A resposta em cada ponto é o limite das inclinações das secantes; quando o limite existe, ele é a derivada ali, um número com sinal. Feito em todos os pontos, vira uma função nova.

    2 · Continuidade4 · Regras de derivação

    02As figuras

    O livro responde.

    Cada figura mora na página em que a ideia aparece, e devolve um número e uma frase: o que mudou, e por quê. Três delas, de três volumes da grade de Computação.

    1. MAE111Cálculo Infinitesimal Icapítulo 3 · figura 3.1

      A derivada é um lugar

      x
      −1,70
      f(x)
      1,32
      f′(x)
      +0,67

      Em x = −1,70 a curva sobe: para cada 1 que você anda na horizontal, ela ganha 0,67 de altura. Esse número é a derivada, um valor para este lugar, não para a curva inteira.

    2. ICP116Estruturas de Dadosa busca binária, passo a passo
    3. ICP115Álgebra Linear Algorítmicao span de dois vetores

    Cada uma destas figuras mora num capítulo, e cada capítulo mora num volume da sua grade.

    Você volta,
    e ele lembra.

    A prova que vem primeiro, o que falta ler até ela e o que você marcou para rever.

    O que você grifou e anotou fica ligado ao capítulo de onde saiu.

    Procurar um termo atravessa os volumes que você tem, capítulo por capítulo.

    E vale para as seis disciplinas do período, não só para a que tem prova.

    Sua semana

    sex, 18 set

    2º período, Ciência da Computação — UFRJ

    Próxima prova

    P1 de Cálculo I

    em 5 diasqua, 23 set — capítulos 1 a 3

    2 de 3 capítulos lidosfalta o capítulo 3 — o que a P1 cobra inteiro

    Hoje

    • Ler o capítulo 1 — contagemMatemática Discreta, 14 min
    • Ler o capítulo 2 — derivadas e aplicaçõesCálculo I, 22 min
    • Rever a nota do capítulo 2Cálculo I, 3 min

    Amanhã — as 2 marcações do capítulo 3

    • Rever o grifo do Teorema do Valor MédioCálculo I, capítulo 3
    • Rever o grifo do caso de RolleCálculo I, capítulo 3
    Plano até a P114 min por dia

    Fichário

    Cálculo I
    Todas6 Grifos5 Notas1
    1. Definição formal de limite: se, para todo , existe tal que, se , então .

      capítulo 1
    2. A derivada é o limite da taxa de variação média quando o intervalo tende a zero.

      capítulo 2
    3. Teorema do Valor Médio: se é contínua em e derivável em , então existe tal que .Rever antes da P1

      capítulo 3
    4. Sua notaa derivada não é uma propriedade da curva, é um valor num lugar. Não confundir com a inclinação da secante.

      capítulo 2
    5. Caso particular (Rolle): se , existe com : é o TVM com a secante horizontal.

      capítulo 3
    6. A integral definida de em é o limite das somas de Riemann quando a malha da partição tende a zero.

      capítulo 4
    5 grifos e 1 nota — 2 no capítulo 3

    Cálculo I

    capítulo 2

    Fixado um ponto a do domínio, comparamos a variação de f num intervalo cada vez menor em torno dele. A razão entre a variação de f e a variação de x nesse intervalo é a taxa de variação média — geometricamente, a inclinação da reta que corta o gráfico nos dois extremos.

    A derivada é o limite da taxa de variação média quando o intervalo tende a zero.

    Quando esse limite existe, dizemos que f é derivável em a, e a reta de inclinação que passa por a é a tangente ao gráfico nesse ponto. Ser derivável em a implica ser contínua em a; a recíproca é falsa, e o exemplo de sempre é o módulo de x na origem.

    Daí em diante o capítulo trata a derivada como uma função nova, definida onde o limite existe: é ela que dirá, no capítulo 3, onde a curva sobe, onde desce e onde a inclinação média é atingida de fato.

    a nota que você deixou aquia derivada não é uma propriedade da curva, é um valor num lugar.

    84

    Busca no acervo

    valor médio

    3 resultados em 2 volumes

    1. O Teorema do Valor MédioCálculo I, capítulo 3
    2. Valor médio de uma funçãoCálculo I, capítulo 6
    3. Valores esperadosEstatística e Probabilidade, capítulo 3

    Exercício 3.4

    Cálculo I, capítulo 3 — Teorema do valor médio

    Seja no intervalo . Pelo Teorema do Valor Médio, existe tal que é igual a:

    1. A
    2. B
    3. CCorreta
    4. D
    Capa do volume ICP141, Programação de Computadores II ICP141 Capa do volume ICP142, Organização de Dados I ICP142 Capa do volume ICP143, Projeto Prático ICP143 Capa do volume ICP144, Matemática Discreta ICP144 Capa do volume ICP145, Habilidades Sociais para o Trabalho ICP145 Capa do volume MAE111, Cálculo Infinitesimal I MAE111
    Os seis volumes do 2º período de Ciência da Computação, na ordem do catálogo: Programação de Computadores II, Organização de Dados I, Projeto Prático, Matemática Discreta, Habilidades Sociais para o Trabalho e Cálculo Infinitesimal I — o volume que a P1 cobra por inteiro, capítulos 1 a 3.

    Tudo isso, com todas as disciplinas do período.

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    R$ 149,40 a cada 6 meses, cobrados de uma vezR$ 10 por mês a menos que o mensal.

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    • O leitor completo do volume
    • Grifos, notas e figuras vivas
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    R$ 9,90 · 14,90 · 19,90 — pelo peso da disciplina.

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    • O que é seu, é seu

      Notas, grifos e os volumes comprados ficam com você.

    A conta, na sua frente.

    Curso Ciência da Computação Período 1º período
    • ICP131Programação de Computadores IR$19,90
    • ICP132Processos de SoftwareR$14,90
    • ICP133Fundamentos de Sistemas de ComputaçãoR$14,90
    • ICP134Números Inteiros e CriptografiaR$19,90
    • ICP135Projeto de CarreiraR$9,90
    • ICP136Introdução ao Pensamento DedutivoR$19,90
    por quantidade (6 volumes)−R$28,00
    Volume a volume6 volumes, seus sem renovação
    R$ 71,40
    No Enciclus+6.458 volumes, de todos os cursos, no semestral
    R$ 24,90/mês

    Preço por volume no catálogo real: R$ 9,90, 14,90 ou 19,90, pelo peso da disciplina, e ele cai com a quantidade. Grade da UFRJ, currículo vigente.

    Seu período, volume a volume: R$ 71,40. No Enciclus+, tudo por R$ 24,90/mês.

    Essa diferença é o que separa estes 6 volumes dos outros 6.452 — com a agenda do semestre, o caderno unificado e a busca no acervo todo.

    As duas portas dão na mesma estante.

    Perguntas

    Antes de você decidir.

    Onze respostas curtas: o preço, o prazo e a regra, ditos por extenso.

    1. Para levar volumes, não. Você monta a pilha aqui, digita o e-mail, paga com Pix ou cartão e escolhe a senha depois, pelo e-mail que chega quando o pagamento cai. O Enciclus+ é diferente: pede conta antes de assinar, e a compra feita dentro da plataforma também.

    2. Você escolhe a faculdade, o curso e o período. O acervo é montado a partir da grade oficial daquele curso, disciplina por disciplina, na ordem do seu histórico. Se o seu período tem seis disciplinas, você vê seis volumes, com o código de cada uma na lombada.

    3. A assinatura abre o acervo inteiro: todos os volumes, de todos os cursos, enquanto ela estiver ativa. Com o catálogo todo, a agenda do semestre enxerga todas as suas disciplinas, o caderno junta os grifos num lugar só e a busca varre o acervo completo. Volume novo entra sozinho na sua estante.

    4. Muda só o preço e o ritmo da cobrança. O mensal custa R$ 34,90 por mês e cancela quando você quiser. O semestral custa R$ 24,90 por mês, cobrados R$ 149,40 de uma vez a cada seis meses, no ritmo do período. O acervo é o mesmo nos dois, e os dois são no cartão de crédito.

    5. O acervo continua aberto até o fim do ciclo que você já pagou, e nada é cobrado depois. O que você comprou avulso continua seu. Os seus grifos e notas ficam guardados: se voltar, ou comprar o volume, encontra tudo onde deixou. Sem multa e sem aviso prévio.

    6. Depende de quantos livros você precisa. Um volume avulso custa de R$ 9,90 a R$ 19,90, pelo peso da disciplina, e é seu sem renovação, com o leitor completo. O Enciclus+ não tem mais recursos: ele é maior. O montador soma os volumes e põe o total ao lado da assinatura.

    7. A edição acompanha a grade vigente da sua faculdade. Quando o currículo muda, os volumes afetados são revisados e a atualização chega sem custo para quem já tem o livro. Se você trancou, está fora de fase ou trocou de curso, monta a estante disciplina por disciplina em vez de por período.

    8. O volume é composto para a tela: no celular o texto se recompõe em vez de virar página cortada, e as figuras respondem ao toque. Sem sinal, os capítulos que você já abriu continuam disponíveis, e os grifos feitos offline entram numa fila que sincroniza sozinha quando a conexão volta.

    9. As suas anotações ficam na sua conta, presas ao trecho que você marcou, e voltam com ele em qualquer leitura. Não são vendidas, não são compartilhadas e ninguém da equipe lê. Pela própria conta você pede uma cópia de tudo ou apaga tudo, quando quiser.

    10. O capítulo 3 de Cálculo Infinitesimal I abre para quem chega, sem conta e sem cartão. Você lê do começo ao fim, mexe nas figuras e faz os exercícios antes de decidir. Nos outros volumes, a amostra abre na sua conta.

    11. Sete dias. Comprou e não quer mais, o valor volta inteiro, pelo mesmo meio, sem perguntar o motivo: é um botão no comprovante do pedido, sem formulário. Depois dos sete dias, a devolução vale para defeito de entrega, como um volume que não abre ou que não corresponde ao anunciado.

    01 / 11

    Monte a sua pilha

    Comece pelo seu período

    Passo 1 de 4

    Onde você estuda?

    A UFRJ está catalogada inteira: 176 cursos, com o código oficial de cada disciplina.

      Ainda não catalogadas

        Nenhum currículo delas entrou no acervo ainda. Por enquanto, o acervo é a UFRJ.

        Algo deu errado ao entrar. Tente novamente.