Capítulo 3 · 14 min de leitura
A derivada é um lugar
A reta tangente não é a reta que toca a curva uma vez. É a reta que a curva quer ser, se você chegar perto o bastante.
O capítulo anterior terminou com uma pergunta que parecia simples: qual é a inclinação de uma curva? Para uma reta, a resposta é um número só, o mesmo em todo lugar. Para uma parábola, a pergunta não faz sentido do jeito que está: a curva se inclina de um jeito em cada ponto. Antes de responder, precisamos consertar a pergunta.
Uma curva não tem inclinação; ela tem uma inclinação em cada ponto. Essa é a mudança de olhar que este capítulo inteiro tenta produzir: a derivada não é uma propriedade da curva, é um valor em um lugar. Tudo o que vem depois, regras, tabelas, atalhos, é consequência dessa frase.
Comece com dois pontos. Fixe um deles, em , e deixe o outro a uma distância . A reta que passa pelos dois é a secante, e a inclinação dela se calcula como sempre: a variação de altura dividida pela variação horizontal.
O que é novo é o que acontece quando encolhe. O segundo ponto desliza pela curva em direção ao primeiro, a secante gira, e as inclinações que ela vai assumindo se aproximam de um número. Esse número, quando existe, é a derivada de em . A reta que tem essa inclinação e passa por é a tangente. Ela não “toca uma vez”: ela é o limite das secantes.
Vale insistir na palavra número. A derivada em um ponto é um número, com sinal: positivo onde a curva sobe, negativo onde desce, zero onde ela pára para mudar de ideia. Quem lê deve ler “andar um para a direita, a partir de dois, custa três de altura”, e não uma fórmula.
A derivada mede o quanto a curva está disposta a subir, exatamente ali, e em nenhum outro lugar.
E se fizermos isso em todos os pontos? Para cada , um número . Isso é uma função: a derivada de . Tome a curva
e arraste o ponto. A tangente gira, e a curva de baixo se desenha sozinha, valor a valor: é a inclinação, medida em cada lugar.
Em resumo Inclinação de curva é uma pergunta por ponto. A resposta em cada ponto é o limite das inclinações das secantes; quando o limite existe, ele é a derivada ali, um número com sinal. Feito em todos os pontos, vira uma função nova.
2 · Continuidade4 · Regras de derivação

ICP141
ICP142
ICP143
ICP144
ICP145
MAE111















