A derivada é um lugar

3.1

A pergunta que precisa de conserto

O capítulo anterior terminou com uma pergunta que parecia simples: qual é a inclinação de uma curva? Para uma reta, a resposta é um número só, o mesmo em todo lugar. Para uma parábola, a pergunta não faz sentido do jeito que está: a curva se inclina de um jeito em cada ponto. Antes de responder, precisamos consertar a pergunta.

A tese do capítulo

Uma curva não tem inclinação; ela tem uma inclinação em cada ponto. Essa é a mudança de olhar que este capítulo inteiro tenta produzir: a derivada não é uma propriedade da curva, é um valor em um lugar. Tudo o que vem depois, regras, tabelas, atalhos, é consequência dessa frase.

Repare no que a frase pede de você. Quando alguém diz “a derivada de $x^{2}$ é $2 x$ ”, está dizendo uma coisa verdadeira, mas comprimida: o que existe, antes de qualquer fórmula, é que em $x = 3$ a parábola sobe a uma taxa de $6$ , em $x = 1$ a uma taxa de $2$ , e em $x = 0$ ela nem sobe nem desce. A fórmula $2 x$ é o resumo de infinitas respostas locais. Este capítulo constrói uma delas; o próximo constrói o resumo.

3.2

Duas pontas de uma reta

Comece com dois pontos. Fixe um deles, em $x$ , e deixe o outro a uma distância $h$ . A reta que passa pelos dois é a secante, e a inclinação dela se calcula como sempre: a variação de altura dividida pela variação horizontal.

m_{sec} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

(3.1)

O quociente de Newton: a inclinação de uma reta que você já sabia calcular.

Nada aqui é novo. O numerador é quanto a curva subiu entre os dois pontos; o denominador, quanto você andou para chegar de um ao outro. Se $h$ for grande, a secante é uma aproximação grosseira do que a curva faz perto de $x$ : ela corta a curva e ignora tudo o que acontece no meio. Se $h$ for pequeno, a secante começa a se confundir com a curva naquele trecho.

3.3

Quando h encolhe

O que é novo é o que acontece quando $h$ encolhe. O segundo ponto desliza pela curva em direção ao primeiro, a secante gira, e as inclinações que ela vai assumindo se aproximam de um número. Esse número, quando existe, é a derivada de $f$ em $x$ . A reta que tem essa inclinação e passa por $(x, f (x))$ é a tangente. Ela não “toca uma vez”: ela é o limite das secantes.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

(3.2)

A derivada em um ponto: um limite, e portanto um número.

Definição 3.1 derivada em um ponto

Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto que contém $a$ . Dizemos que $f$ é derivável em $a$ quando o limite $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ existe. Nesse caso o valor do limite se chama derivada de $f$ em $a$ e se escreve $f^{'} (a)$ .

Repare no quando: o limite pode não existir. Em $f (x) = ∣ x ∣$ , no ponto $a = 0$ , as secantes pela direita têm inclinação $1$ e as pela esquerda, $- 1$ . Elas não se aproximam de um número só, e por isso o gráfico de $∣ x ∣$ tem um bico na origem, e nenhuma tangente ali.

Exemplo 3.1 a parábola, num ponto qualquer

Tome $f (x) = x^{2}$ e um ponto $a$ qualquer. O quociente de Newton se simplifica antes de o limite entrar em cena:

$\frac{( a + h ) ^{2} - a ^{2}}{h}$ $=$ $\frac{a ^{2} + 2 ah + h ^{2} - a ^{2}}{h}$ $=$ $\frac{2 ah + h ^{2}}{h}$
Para $h \neq = 0$ , dividir por $h$ é permitido: $\frac{2 ah + h ^{2}}{h} = 2 a + h$ .
Agora $h$ encolhe, e $2 a + h$ se aproxima de $2 a$ . Logo $f^{'} (a) = 2 a$ .

Leia o resultado ponto a ponto, não como fórmula: em $a = 3$ a parábola sobe a $6$ ; em $a = - 1$ ela desce a $2$ ; em $a = 0$ a tangente é horizontal. Três lugares, três números.

3.4

Um número, com sinal

Vale insistir na palavra número. A derivada em um ponto é um número, com sinal: positivo onde a curva sobe, negativo onde desce, zero onde ela para para mudar de ideia. Quem lê $f^{'} (2) = 3$ deve ler “andar um para a direita, a partir de dois, custa três de altura”, e não uma fórmula.

A derivada mede o quanto a curva está disposta a subir, exatamente ali, e em nenhum outro lugar.

Esse jeito de ler resolve, de graça, metade dos problemas de aplicação que aparecem nas provas. Velocidade é a derivada da posição: um número, por instante, que diz quanto a posição está disposta a mudar naquele momento. Taxa de crescimento de uma população, custo marginal, vazão: é sempre a mesma pergunta, feita a uma curva, em um ponto.

3.5

Em todos os pontos, uma função nova

E se fizermos isso em todos os pontos? Para cada $x$ do domínio em que o limite existe, $f^{'} (x)$ é um número; a regra que leva $x$ a $f^{'} (x)$ é, portanto, uma função. Ela se chama função derivada e carrega o mesmo nome, $f^{'}$ . Tome a curva

f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - \frac{3}{2} x

(3.3)

e arraste o ponto. A tangente gira, e a curva de baixo se desenha sozinha, valor a valor: é a inclinação, medida em cada lugar.

Figura 3.1 a derivada como inclinação

arraste o ponto, ou use as setas

f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - \frac{3}{2} x

f^{'}

, a inclinação em cada lugar

x

−1,70

f (x)

1,32

f^{'} (x)

+0,67

Em cima, a curva e a tangente no ponto escolhido. Embaixo, o rastro de

f^{'}

: cada valor é a inclinação de cima, medida naquele lugar.

Duas coisas para notar na figura. Onde a curva de cima é íngreme, o valor de baixo é grande, em módulo; onde ela é quase plana, o valor de baixo se aproxima de zero. E nos dois pontos em que a tangente fica horizontal, a curva de baixo cruza o eixo: é ali que $f$ troca de direção, e é por isso que máximos e mínimos se procuram nas raízes de $f^{'}$ . Isso é assunto do capítulo 4; aqui basta ver que a informação já está toda na figura.

3.6

Exercícios0 de 2 praticados

Dois exercícios curtos, no corpo do texto. O primeiro é leitura de figura; o segundo é o exemplo 3.1 aplicado.

Exercício 3.1 leitura de sinal

Na curva $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - \frac{3}{2} x$ da figura 3.1, o que a derivada diz sobre o ponto $x = 1$ ?

Exercício 3.2 um número em um lugar

Seja $f (x) = x^{2}$ . Qual é a derivada de $f$ no ponto $x = 3$ ?

O que ficou estabelecido

Inclinação de curva é uma pergunta por ponto. A pergunta “qual é a inclinação da curva?” não tem resposta; “qual é a inclinação da curva em $x$ ?” tem.
A secante é o que você já sabia calcular. O quociente de Newton é a inclinação da reta por $(x, f (x))$ e $(x + h, f (x + h))$ .
A derivada é o limite das secantes. Quando $h \to 0$ e o quociente se aproxima de um número, esse número é $f^{'} (x)$ ; a tangente é a reta com essa inclinação.
É um número com sinal, e feito em todos os pontos vira uma função. Positivo sobe, negativo desce, zero para. A regra $x \mapsto f^{'} (x)$ é a função derivada, assunto do capítulo 4.

O caminho até um lugar.

Seis capítulos, um escrito.